La Ecuaciones de Maxwell surgen de la teoría electromagnética y son el resumen esta teoría desde un punto de vista macroscópico.Y son, por tanto, un total de ocho ecuaciones escalares (tres para cada uno de los rotacionales de los campos eléctrico y magnético y una para las divergencias).

Parámetros presentes

Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Maxwell son los siguientes:

$\vec{E}$ - Campo eléctrico existente en el espacio, creado por las cargas.
$\vec{D}$ - Campo dieléctrico que resume los efectos eléctricos de la materia.
$\vec{B}$ - Campo magnético existente en el espacio, creado por las corrientes.
$\vec{H}$ - Campo magnético que resume los efectos magnéticos de la materia.
$\rho$ - Densidad de cargas existentes en el espacio.
$\vec{J}$ - Densidad de corriente, mide el flujo de cargas por unidad de tiempo y superfície y es igual a $\vec{J}=\rho\vec{v}$ .
$\varepsilon$ - Permitividad eléctrica, característica de los materiales dieléctricos.
$\mu$ - Permeabilidad magnética, característica de los materiales paramagnéticos.
Significado físico
Cuando Maxwell resumió la teoría electromagnética de su época en sus ecuaciones escribió las siguientes ecuaciones:

$\displaystyle \div{E}=\frac{\rho}{\varepsilon},$

que no es nada más que la ley de Gauss, que se reduce a la ley de Coulomb para cargas puntuales.

$\displaystyle \div{B}=0,$

que no tiene nombre y expresa la inexistencia de monopolos magnéticos en la naturaleza, es decir, esta es la explicación de que al romper un imán obtengamos dos imanes, y no dos medio-imanes.

$\displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},$ que es la expresión diferencial de la ley de Faraday.

$\displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\vec{J},$

que es la ley de Ampère. Sin embargo encontró que esta última ecuación, juntamente con la ley de Faraday conducían a un resultado que violaba el principio de conservación de la carga, con lo cual decidió modificarla para que no violase este principio dándole la forma

$\displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\vec{J}+\mu\varepsilon\frac{\partial \vec{E}}{\partial t},$

que ahora se conoce como ley de Ampère modificada. El término introducido recibe el nombre de corriente de desplazamiento.Sin embargo estas ocho ecuaciones no son suficientes para resumir todo el conocimiento de la electrodinámica clásica, nos hace falta una ecuación más, esa es la expresión de la fuerza de Lorentz:

$\displaystyle \vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}).$

Electrostática y magnetostática
Cuando consideramos que los campos eléctrico y magnético no dependen del tiempo las ecuaciones de Maxwell se nos quedan en:

$\begin{equation*}\begin{aligned} \div{E}&=\frac{\rho}{\varepsilon}\ ,\\ \vec{... ...psilon\mu\frac{\partial E}{\partial t}\ .\nonumber \end{aligned}\end{equation*}$

De $\vec{\nabla}\times\vec{E}=0$ sacamos que el campo eléctrico se deriva del gradiente de un potencial, es decir, $\vec{E}=-\vec{\nabla}\phi$ , como se desprende de la ley de Coulomb.De $\div{B}=0$ deducimos que el campo magnético es el rotacional de un potencial vector, es decir, $\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}$ , obteniendo el mismo resultado que a partir de la ley de Biot-Savart.

4.3 Ecuaciones de Maxwell en el vacío
Cuando estamos en el vacío podemos suponer que no existen fuentes (es decir, que $\rho=0$ y $\vec{J}=0$ ) y las ecuaciones de Maxwell nos quedan de la forma:

$\begin{equation*}\begin{aligned} \div{E}&=0\ ,\\ \vec{\nabla}\times\vec{E}&=-... ...0}\mu_{0}\frac{\partial E}{\partial t}\ ,\nonumber \end{aligned}\end{equation*}$

En este caso se puede demostrar que tanto el campo $\vec{E}$ como el campo $\vec{B}$ toman la forma de una ecuación de ondas con una velocidad $1/\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}=c$ igual a la velocidad de la luz, de donde Maxwell extrajo la hipótesis de que la luz no eran más que ondas electromagnéticas propagándose en el vacío, hipótesis verificada esperimentalmente por Hertz algunos años después de la muerte de Maxwell.A partir de estas cuatro ecuaciones (dos de ellas vectoriales, con lo que en realidad son ocho ecuaciones escalares) se deduce la óptica electromagnética.
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